Neue Formeln und Messunsicherheit
Christopher • 14. März 2022

Neue Formeln
und
Messunsicherheit

Neue Formeln

  • Zweck von Experimenten
  • Experimentelle Bestimmung neuer Formeln

Messunsicherheit

  • Umgang mit Messwerten
  • Bestimmung von Messunsicherheiten
  • Relative Fehler

Theoretiker
und
Experimentatoren

Theoretiker

  • Wie könnte die Welt sein?

Experimentatoren

  • Welche mögliche Welt ist unsere
  • Können Theorie nie belegen

Beispiel (nicht für ABI)

  • Maxwell-Gleichungen: Licht feste Geschwindigkeit
  • Newton: keine absolute Ruhe
    $\rightarrow$ Geschwindigkeit relativ
  • Spezielle Relativitätstheorie: Raum und Zeit relativ
  • Michelson-Morley Experiment: Lichtgeschwindigkeit konstant

Was ist ein Experiment?

  • Reproduzierbare Situation
  • Störenden Variablen ausgeschaltet\kompensiert
  • Jeweils eine unabhängige Variable verändert
  • Beobachtung aller abhängigen Variablen

Unbekannte Situation experimentell erfassen

"Machen Sie Messungen! Von Anfang an mit theoretischen Modellen zu arbeiten ist Alchemie."
—Unbekannter Professor

Stromwaage

  • Stromstärke $I$
  • Leiterlänge $l$
  • Kraft auf Leiter $F_L$
  • Temperatur
  • Windgeschwindigkeit
  • Mondphase

Stromwaage

Unabhängige Variablen
  • Stromstärke $I$
  • Leiterlänge $l$
Abhängige Variablen
  • Kraft auf Leiter $F_L$

Veränderung der Stromstärke

\[\begin{aligned} l = 8cm \end{aligned}\]
$I$ in $A$ $5,0$ $10,0$ $15,0$
$F_L$ in $mN$ $1,9$ $3,8$ $5,8$
$\frac{F_L}{I}$ in $\frac{mN}{A}$ $0,38$ $0,38$ $0,39$
\[\begin{aligned} F_L \sim I \text{, wenn } l = \text{konst} \end{aligned}\]

Veränderung der Leiterlänge

\[\begin{aligned} I = 10A \end{aligned}\]
$l$ in $cm$ $1,0$ $2,0$ $4,0$ $8,0$
$F_L$ in $mN$ $0,4$ $0,9$ $2,0$ $3,8$
$\frac{F_L}{l}$ in $\frac{mN}{cm}$ $0,40$ $0,45$ $0,50$ $0,48$
\[\begin{aligned} F_L \sim l \text{, wenn } I = \text{konst} \end{aligned}\]

Stromwaage

\[\begin{aligned} F_L &\sim I \text{, wenn } l = \text{konst} \\ F_L &\sim l \text{, wenn } I = \text{konst} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} F_L &\sim I \cdot l \\ F_L &= B \cdot I \cdot l \end{aligned}\]
$\Rightarrow$ neue Grösse $B$, abhängig vom Magnetfeld

Unterschied: Anzahl signifikanter Stellen

Signifikante Stellen

$4562,30m$

Signifikante Stellen

  • $\htmlClass{sig}{4562,3\underline{0}}m$
  • $0000\htmlClass{sig}{4562,3\underline{0}}m$
  • $\htmlClass{sig}{4562,3\underline{0}}\htmlClass{wrong}{0000}$
  • $0,00\htmlClass{sig}{45623\underline{0}}\vphantom{}\cdot 10^6m$
  • $\htmlClass{sig}{4,5623\underline{0}}\vphantom{}\cdot 10^3m$
  • $\htmlClass{sig}{4,5623\underline{0}}km$
  1. Von erster nicht-Null Stelle zur Rundungsstelle
  2. Führende Nullen irrelevant
  3. Folgende Nullen täuschen falsche Genauigkeit vor
    $\rightarrow$ Rundungsstelle ist letzte Stelle!
  4. Zehnerpotenz kann angepasst werden (zwischen $0,1$ und $1000$ gut)

Signifikante Stellen—Zweck

  • Impliziert Messunsicherheit
  • $0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}m$ $\Rightarrow 0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}m \pm 0,0000\htmlClass{sig}{50}m$
  • $0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}\htmlClass{wrong}{000}m$ $\Rightarrow 0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}\htmlClass{wrong}{000}m \pm 0,0000\htmlClass{wrong}{000}\htmlClass{sig}{50}m$
  • Messunsicherheit explizit mit zwei signifikanten Stellen anzugeben

Sonderfälle

  • Natürliche Zahlen \[\begin{aligned} k &= 2 \end{aligned}\]
  • Exakt bekannte, unendlicher Menge Nachkommastellen \[\begin{aligned} \frac{1}{7} &= 0,1429\dots \end{aligned}\]
  • Exakt bekannte, endlicher Menge Nachkommastellen \[\begin{aligned} h &= 6,62607015 \cdot 10^{-34} Js \\ &= 6,6261\dots\vphantom{} \cdot 10^{-34} Js \end{aligned}\]

Wie soll ich denn jetzt runden?

"Ich runde grundsätzlich auf volle Tausender."
—Frau Struthoff

Wie soll ich denn jetzt runden?

  • Im TI gar nicht!
  • Endergebnisse, um keine zu hohe Genauigkeit vorzutäuschen
  • Faustregel für's ABI:
    Anzahl signifikanter Stellen der ungenausten Messgrösse + 1

Beispiel

\[\begin{aligned} F_L &= \htmlClass{sig}{17,\underline{1}}mN \\ I &= \htmlClass{sig}{5,6\underline{4}}A \\ l &= \htmlClass{sig}{4,\underline{0}}cm \\ B &= \frac{F_L}{I \cdot l} = \frac{\htmlClass{sig}{17,\underline{1}}mN} {\htmlClass{sig}{5,6\underline{4}}A \cdot \htmlClass{sig}{4,\underline{0}}cm} \\ &= 0,07579\dots T \\ &\approx \htmlClass{fragment}{\htmlClass{sig}{75,\underline{8}}mT} \end{aligned}\]

Ablesen aus Graphiken

  • Ableseungenauigkeit mit signifikanten Stellen kennzeichnen
  • Faustregel: $\pm$ viertel Skaleneinheit
  • Einteilung von $1\degree$
    $\rightarrow$ Unsicherheit von
    $\pm \frac{1}{4}\degree = \pm 0,25\degree$
  • z.B. $\htmlClass{sig}{\underline{7}}\degree$,
    da $0,5\degree > 0,25\degree > 0,05\degree$

Bestimmung der Messunsicherheit

"Ermitteln Sie [...] die absolute Messunsicherheit der kurzwelligen Grenze des Wellenlängenbereichs." —Abituraufgabe 2021 II
  • Fehlerfortpflanzungsrechnung
  • Minimal-Maximal-Abschätzung

Minimal-Maximal-Abschätzung

\[\begin{aligned} \lambda_{max} &= \frac{1}{500}mm \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{5,1cm}{19,8cm} \right) \right) &= 500nm \\ \lambda_{min} &= \frac{1}{500}mm \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{4,9cm}{20,4cm} \right) \right) &= 470nm \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} d_k &= 5,0cm &\pm 0,1cm \\ a &= 20,1cm &\pm 0,3cm \end{aligned}\]
Absolute Messunsicherheit:
\[\begin{aligned} \frac{|500nm - 470nm|}{2} \Rightarrow \pm \htmlClass{sig}{15}nm \end{aligned}\]

Minimal-Maximal-Abschätzung

\[\begin{aligned} \lambda = \frac{1}{500}mm \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{5,0cm}{20,1cm} \right) \right) = 498nm \end{aligned}\]
Relative Messunsicherheit: \[\begin{aligned} \frac{|500nm - 470nm|}{498nm} = \htmlClass{sig}{6,0}\% \end{aligned}\]
Absolute Messunsicherheit:
\[\begin{aligned} \frac{|500nm - 470nm|}{2} \Rightarrow \pm \htmlClass{sig}{15}nm \end{aligned}\]

Relative Fehler

\[\begin{aligned} \frac{|\text{Gemessener Wert} - \text{Literaturwert}|}{\text{Literaturwert}} = \frac{\text{Differenz}}{\text{Literaturwert}} \\ \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{|5 \cdot 10^{-34}Js - 6,62607015 \cdot 10^{-34}Js|} {6,62607015 \cdot 10^{-34}Js} = \htmlClass{sig}{25}\% \end{aligned}\]

Massnahmen zur Messunsicherheitsverringerung

  • Genauere Messgeräte
  • Grössere Längen
  • Mehrfache Längen (vom linken 3. Maximum zum rechten 3. statt 1. zum 0.)
  • Mehrere Messungen (andere Varianten und Bildung des Mittelwerts)
  • Bessere Isolierung gegen / Kompensierung von Umwelteinflüssen (Temperatur, Erschütterungen)

Neue Formeln—Zusammenfassend

  • Abhängige, unabhängige Variablen identifizieren
  • pro Versuch eine unabhängige Variable variieren
  • funktionale Zusammenhänge aufstellen

Messunsicherheit—Zusammenfassend

  • Im TI nicht runden
  • Nicht nach Rundungsstelle angeben
  • Eine signifikante Stelle mehr als ungenauste Messgrösse
  • Ablesen aus Graphik: $\pm$ viertel Skaleneinheit
  • Minimal-Maximal-Abschätzung für explizite Messunsicherheit (zwei signifikante Stelle angeben)
  • Relative Fehler: $\frac{\text{Differenz}}{\text{Literaturwert}}$

Quellen

The End