Neue Formel und Messunsicherheit

Neue Formeln
und
Messunsicherheit

Theoretiker
und
Experimentatoren

Theoretiker

Wie könnte die Welt sein?

Experimentatoren

Welche mögliche Welt ist unsere
Können Theorie nie belegen

Beispiel (nicht für ABI)

Maxwell-Gleichungen: Licht feste Geschwindigkeit
Newton: keine absolute Ruhe
$\rightarrow$ Geschwindigkeit relativ
Spezielle Relativitätstheorie: Raum und Zeit relativ

Michelson-Morley Experiment: Lichtgeschwindigkeit konstant

Unbekannte Situation experimentell erfassen

"Machen Sie Messungen! Von Anfang an mit theoretischen Modellen zu arbeiten ist Alchemie."
—Unbekannter Professor

Stromwaage

Stromstärke $I$
Leiterlänge $l$
Kraft auf Leiter $F_L$
Temperatur
Windgeschwindigkeit
Mondphase

Stromwaage

Unabhängige Variablen

Stromstärke $I$
Leiterlänge $l$

Abhängige Variablen

Kraft auf Leiter $F_L$

Veränderung der Stromstärke

\begin{aligned} l = 8cm \end{aligned}

$I$ in $A$	$5,0$	$10,0$	$15,0$
$F_L$ in $mN$	$1,9$	$3,8$	$5,8$
$\frac{F_L}{I}$ in $\frac{mN}{A}$	$0,38$	$0,38$	$0,39$

\begin{aligned} F_L \sim I \text{, wenn } l = \text{konst} \end{aligned}

Veränderung der Leiterlänge

\begin{aligned} I = 10A \end{aligned}

$l$ in $cm$	$1,0$	$2,0$	$4,0$	$8,0$
$F_L$ in $mN$	$0,4$	$0,9$	$2,0$	$3,8$
$\frac{F_L}{l}$ in $\frac{mN}{cm}$	$0,40$	$0,45$	$0,50$	$0,48$

\begin{aligned} F_L \sim l \text{, wenn } I = \text{konst} \end{aligned}

Stromwaage

\begin{aligned} F_L &\sim I \text{, wenn } l = \text{konst} \\ F_L &\sim l \text{, wenn } I = \text{konst} \end{aligned}

\begin{aligned} F_L &\sim I \cdot l \\ F_L &= B \cdot I \cdot l \end{aligned}

\Rightarrow

neue Grösse

B

, abhängig vom Magnetfeld

Signifikante Stellen

$\htmlClass{sig}{4562,3\underline{0}}m$
$0000\htmlClass{sig}{4562,3\underline{0}}m$
$\htmlClass{sig}{4562,3\underline{0}}\htmlClass{wrong}{0000}$
$0,00\htmlClass{sig}{45623\underline{0}}\vphantom{}\cdot 10^6m$
$\htmlClass{sig}{4,5623\underline{0}}\vphantom{}\cdot 10^3m$
$\htmlClass{sig}{4,5623\underline{0}}km$

Von erster nicht-Null Stelle zur Rundungsstelle
Führende Nullen irrelevant
Folgende Nullen täuschen falsche Genauigkeit vor
$\rightarrow$ Rundungsstelle ist letzte Stelle!
Zehnerpotenz kann angepasst werden (zwischen $0,1$ und $1000$ gut)

Signifikante Stellen—Zweck

Impliziert Messunsicherheit
$0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}m$ $\Rightarrow 0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}m \pm 0,0000\htmlClass{sig}{50}m$
$0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}\htmlClass{wrong}{000}m$ $\Rightarrow 0,0\htmlClass{sig}{69\underline{0}}\htmlClass{wrong}{000}m \pm 0,0000\htmlClass{wrong}{000}\htmlClass{sig}{50}m$
Messunsicherheit explizit mit zwei signifikanten Stellen anzugeben

Sonderfälle

Natürliche Zahlen $\begin{aligned} k &= 2 \end{aligned}$
Exakt bekannte, unendlicher Menge Nachkommastellen $\begin{aligned} \frac{1}{7} &= 0,1429\dots \end{aligned}$

Exakt bekannte, endlicher Menge Nachkommastellen $\begin{aligned} h &= 6,62607015 \cdot 10^{-34} Js \\ &= 6,6261\dots\vphantom{} \cdot 10^{-34} Js \end{aligned}$

Wie soll ich denn jetzt runden?

Im TI gar nicht!
Endergebnisse, um keine zu hohe Genauigkeit vorzutäuschen
Faustregel für's ABI:
Anzahl signifikanter Stellen der ungenausten Messgrösse + 1

Beispiel

\begin{aligned} F_L &= \htmlClass{sig}{17,\underline{1}}mN \\ I &= \htmlClass{sig}{5,6\underline{4}}A \\ l &= \htmlClass{sig}{4,\underline{0}}cm \\ B &= \frac{F_L}{I \cdot l} = \frac{\htmlClass{sig}{17,\underline{1}}mN} {\htmlClass{sig}{5,6\underline{4}}A \cdot \htmlClass{sig}{4,\underline{0}}cm} \\ &= 0,07579\dots T \\ &\approx \htmlClass{fragment}{\htmlClass{sig}{75,\underline{8}}mT} \end{aligned}

Ablesen aus Graphiken

Ableseungenauigkeit mit signifikanten Stellen kennzeichnen
Faustregel: $\pm$ viertel Skaleneinheit
Einteilung von $1\degree$
$\rightarrow$ Unsicherheit von
$\pm \frac{1}{4}\degree = \pm 0,25\degree$
z.B. $\htmlClass{sig}{\underline{7}}\degree$ ,
da $0,5\degree > 0,25\degree > 0,05\degree$

Minimal-Maximal-Abschätzung

\begin{aligned} \lambda_{max} &= \frac{1}{500}mm \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{5,1cm}{19,8cm} \right) \right) &= 500nm \\ \lambda_{min} &= \frac{1}{500}mm \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{4,9cm}{20,4cm} \right) \right) &= 470nm \end{aligned}

\begin{aligned} d_k &= 5,0cm &\pm 0,1cm \\ a &= 20,1cm &\pm 0,3cm \end{aligned}

Absolute Messunsicherheit:

\begin{aligned} \frac{|500nm - 470nm|}{2} \Rightarrow \pm \htmlClass{sig}{15}nm \end{aligned}

Minimal-Maximal-Abschätzung

\begin{aligned} \lambda = \frac{1}{500}mm \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{5,0cm}{20,1cm} \right) \right) = 498nm \end{aligned}

Relative Messunsicherheit:

\begin{aligned} \frac{|500nm - 470nm|}{498nm} = \htmlClass{sig}{6,0}\% \end{aligned}

Absolute Messunsicherheit:

\begin{aligned} \frac{|500nm - 470nm|}{2} \Rightarrow \pm \htmlClass{sig}{15}nm \end{aligned}

Relative Fehler

\begin{aligned} \frac{|\text{Gemessener Wert} - \text{Literaturwert}|}{\text{Literaturwert}} = \frac{\text{Differenz}}{\text{Literaturwert}} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{|5 \cdot 10^{-34}Js - 6,62607015 \cdot 10^{-34}Js|} {6,62607015 \cdot 10^{-34}Js} = \htmlClass{sig}{25}\% \end{aligned}

Massnahmen zur Messunsicherheitsverringerung

Genauere Messgeräte
Grössere Längen
Mehrfache Längen (vom linken 3. Maximum zum rechten 3. statt 1. zum 0.)
Mehrere Messungen (andere Varianten und Bildung des Mittelwerts)
Bessere Isolierung gegen / Kompensierung von Umwelteinflüssen (Temperatur, Erschütterungen)

Messunsicherheit—Zusammenfassend

Im TI nicht runden
Nicht nach Rundungsstelle angeben
Eine signifikante Stelle mehr als ungenauste Messgrösse
Ablesen aus Graphik: $\pm$ viertel Skaleneinheit
Minimal-Maximal-Abschätzung für explizite Messunsicherheit (zwei signifikante Stelle angeben)
Relative Fehler: $\frac{\text{Differenz}}{\text{Literaturwert}}$

Neue Formeln
und
Messunsicherheit

Neue Formeln

Messunsicherheit

Theoretiker
und
Experimentatoren

Theoretiker

Experimentatoren

Beispiel (nicht für ABI)

Was ist ein Experiment?

Unbekannte Situation experimentell erfassen

Stromwaage

Stromwaage

Unabhängige Variablen

Abhängige Variablen

Veränderung der Stromstärke

Veränderung der Leiterlänge

Stromwaage

Signifikante Stellen

Signifikante Stellen

Signifikante Stellen—Zweck

Sonderfälle

Wie soll ich denn jetzt runden?

Wie soll ich denn jetzt runden?

Beispiel

Ablesen aus Graphiken

Bestimmung der Messunsicherheit

Minimal-Maximal-Abschätzung

Minimal-Maximal-Abschätzung

Relative Fehler

Massnahmen zur Messunsicherheitsverringerung

Neue Formeln—Zusammenfassend

Messunsicherheit—Zusammenfassend

Quellen

The End

Neue Formeln und Messunsicherheit

Neue Formeln
und
Messunsicherheit